Kleitman 直径定理的稳定性

设 $\mathcal{F}$ 为 $[n]$ 的子集族。$\mathcal{F}$ 的直径定义为其成员对中对称差的最大大小。Kleitman 解决了 Erdős 的一个猜想，确定了固定直径下族的最大大小，即直径为 $s$ 的族的基数至多为半径 $s/2$ 的汉明球的基数。具体而言，若 $\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$ 为直径为 $s$ 的族，则当 $s=2d$ 时，$|\mathcal{F}|\le \sum_{i=0}^d {n \choose i}$；当 $s=2d+1$ 时，$|\mathcal{F}|\le \sum_{i=0}^d {n \choose i} + {n-1 \choose d}$。此结果称为 Kleitman 直径定理，它同时推广了 Katona 并集定理和 Erdős–Ko–Rado 定理。2017 年，Frankl 给出了 Kleitman 定理极值族的完整刻画，并提供了一个稳定性结果。本文确定了 Frankl 定理的极值族，并建立了 Kleitman 定理的进一步稳定性结果。这解决了 Li 和 Wu 最近提出的一个问题。我们的发现构成了 Kleitman 直径定理的第二稳定性。