关于埃尔德希斯-索斯问题中的超饱和现象

以下由埃尔德希斯与索斯 (Erd\H{o}s and S\'os) 提出的经典极端集论问题：$\mathcal F\subset {[n]\choose k}$ 中最大的家族 $\mathcal F$ 有多大，使得其中任意两个集合 $F_1,F_2\in \mathcal F$ 满足 $|F_1\cap F_2| = t$？本文针对该极端函数的超饱和问题进行研究。对于固定大小为 $\ell$ 的家族 $\mathcal F\subset {[n]\choose k}$，我们求出其可能产生的最小化的配对数 $F_1,F_2\in \mathcal F$ 使得 $|F_1\cap F_2|=t$。对于固定 $k$ 且 $n\to \infty$ 的情况，我们找到了当最小配对数与随机 $\ell$ 元素家族中预期配对数在常数因子范围内匹配时的精确阈值。我们也找到了当 $\ell$ 稍大于极端函数时的最优解。