关于向量空间上Erdős匹配猜想的注记

1965年,Paul Erdős询问了$\{ 1, \ldots, n \}$中最大的$k$-集族$Y$的问题,使得$Y$不包含$s+1$个两两不相交的集合。该问题通常被称为Erdős匹配猜想。我们研究该问题的$q$-类比,即我们想确定$\mathbb{F}_q^n$中最大的$k$-空间族$Y$的大小,使得$Y$不包含$s+1$个两两不相交的$k$-空间。这里若两个子空间平凡相交,则称它们不相交。我们的主要结果略作简化后为:若$16 s \leq \min\{ q^{\frac{n-k}{4}},$ $q^{\frac{n-2k+1}{3}} \}$,则$Y$要么很小,要么是相交族的并。因此我们在此范围内证明了向量空间上的Erdős匹配猜想。证明使用了Metsch的一种方法。我们还讨论了构造。特别地,我们展示了对于更大的$s$,存在接近相交族并大小但在结构上不同的大例子。作为一个应用,我们讨论了向量空间上Erdős匹配猜想与Cameron-Liebler线类(及其对$k$-空间的推广)之间的密切关系,后者是有限几何中过去30年的热门课题。更具体地说,我们提出向量空间上的Erdős匹配猜想作为经典Cameron-Liebler线类研究的一个有趣变体。