集系中不相交对的最小数量及相关问题

设 F 为 [n] 上的集系，其中所有集合均包含 k 个元素且任意两个集合相交。Erdos-Ko-Rado 于 1961 年提出的著名定理指出，任何此类集系的大小至多为 ${n-1 \choose k-1}$。Ahlswede 于 1980 年提出了一个自然问题：在更大规模的集系中必须出现多少个不相交对。除 k=2 的情形（由 Ahlswede 和 Katona 解决）外，该问题在过去三十年中一直悬而未决。本文确定了小 k 一致族中不相交对的最小数量，从而在这些情况下证实了 Bollobas 和 Leader 的猜想。此外，我们对 Erdos-Ko-Rado 定理的两个著名推广获得了类似结果，确定了在大于相应极值界的集系中出现的大小为 q 的匹配的最小数量以及 t-不相交对的最小数量。在后一种情况下，这为 Kleitman 和 West 提出的问题提供了部分解。