集合系统中的不相交配对与低秩矩阵的组合问题

我们研究并解决了两个紧密相关情境中的若干问题：具有许多不相交集合对的 $2^{[n]}$ 中的集合家族，以及具有许多零项的低秩矩阵。 - 40多年前，Daykin和Erd\H{o}s询问集合族 $F\subseteq 2^{[n]}$ 中不相交配对的最大数目，规模为 $2^{(1/2+\delta)n}$，并猜测其中至多有 $o(|F|^2)$ 个这样的配对。这一猜测由Alon和Frankl于1985年证明。在本文中，我们完全解决了此问题，给出集合族大小与不相交配对数之间的最优依赖关系。我们也证明了以交集 $\lambda\neq 0$ 取代不相交配对的Daykin-Erd\H{o}s猜想的自然变体。 - 为了满足Lovett关于著名log-rank猜想的相关问题，Singer和Sudan询问：对于两个包含正比例集合配对 $(a,b)\in A\times B$ being disjoint的家族 $A, B \subseteq 2^{[n]}$，是否存在 $R\subset A$ 和 $S\subset B$，使得所有配对 $(r, s)\in R\times S$ 不相交，且 $|R|\geq 2^{-O(\sqrt{n})}|A|$ 且 $|S|\geq 2^{-O(\sqrt{n})}|B|$。我们以强有力的定量形式证明了此猜想。 - 我们证明了对log-rank猜想最佳已知界的以下推广。如果 $M$ 是一个秩为 $r$ 的非负整数矩阵，平均值为 $\varepsilon\leq 1/2$，则 $M$ 包含一个大小至少为 $2^{-O(\sqrt{\varepsilon r})}n$ 的全零子矩阵。与已知的log-rank猜想界不同，此结果最优。此外，利用类似方法，我们证明任何 $n\times n$ 秩为 $r$、取值于 $\{0,\dots,t\}$ 的矩阵包含一个大小至少为 $2^{-O(t\sqrt{r})}n$ 的常数子矩阵。我们的证明使用概率论、熵和偏差方法，并探索了与加法组合数学和编码理论的联系。