在给定差集约束下寻找 $\mathbb{F}_2^n$ 的完美匹配

我们考虑 Balister、Győri 和 Schelp 提出的以下问题：给定 $\mathbb{F}_2^n$ 中 $2^{n-1}$ 个非零向量且和为零，是否总能将 $\mathbb{F}_2^n$ 的元素划分为若干对，使得第 $i$ 对中两个元素的差等于第 $i$ 个给定向量（对每个 $i$）？$\mathbb{F}_p$ 中的一个类似问题（即所谓“夫妇入座”问题的一个情形）已由 Preissmann 和 Mischler 于 2009 年解决。在本文中，我们证明了 $\mathbb{F}_2^n$ 中该猜想在以下两种情形成立：给定差向量中不同值的个数至多为 $n-2\log n-1$；以及至少占比 $\frac12+\varepsilon$ 的给定向量相等（对所有 $\varepsilon>0$ 且 $n$ 基于 $\varepsilon$ 充分大）。