关于距离幻标号猜想的一族无限反例

本工作涉及一个划分问题，它是距离幻图标号问题的一个实例。给定正整数 $n,k$ 和 $p_1\le p_2\le \cdots\le p_k$ 满足 $p_1+\cdots+p_k=n$ 且 $k$ 整除 $\sum_{i=1}^ni$，我们研究刻画在何种情形下能够将集合 $\{1,2,\ldots,n\}$ 划分为大小分别为 $p_1,\dots,p_k$ 的 $k$ 个子集，使得每个子集中的元素之和相等的问题。通过计算机搜索，我们发现了一些例子，表明必要条件 $\sum_{i=1}^{p_1+\cdots+p_j} (n-i+1)\ge j{\binom{n+1}{2}}/k$（对所有 $j=1,\ldots,k$）通常并不充分，从而反驳了先前的一个猜想。此外，我们证明存在无限多个这样的反例。是否存在简单刻画的问题仍悬而未决，且据我们所知，相应的判定问题可能是 NP 完全的。