阿贝尔群的零和划分及其在魔幻与反魔幻型标号中的应用

以下问题自 80 年代以来已为人所知。设 $\Gamma$ 为阶为 $m$（记为 $|\Gamma|=m$）的阿贝尔群，并设 $t$ 与 $\{m_i\}_{i=1}^{t}$ 为满足 $\sum_{i=1}^t m_i=m-1$ 的正整数。确定何时 $\Gamma^*=\Gamma\setminus\{0\}$（即 $\Gamma$ 的非零元素集合）可被划分为不相交子集 $\{S_i\}_{i=1}^{t}$，使得对每个 $1 \leq i \leq t$ 有 $|S_i|=m_i$ 且 $\sum_{s\in S_i}s=0$。这样的子集划分称为\textit{零和划分}。$|I(\Gamma)|\neq 1$（其中 $I(\Gamma)$ 为 $\Gamma$ 中对合元素的集合）是零和划分存在的必要条件。在本文中，我们证明附加条件 $m_i\geq 4$（对每个 $1 \leq i \leq t$）是充分的。此外，我们给出了零和划分在图的魔幻与反魔幻型标号中的一些应用。