阶为 $2^n$ 的阿贝尔群的零和划分

以下问题自 80 年代以来已为人所知。设 $\Gamma$ 为阶 $m$（记为 $|\Gamma|=m$）的阿贝尔群，并设 $t$ 与 $m_i$（$1 \leq i \leq t$）为正整数，满足 $\sum_{i=1}^t m_i=m-1$。确定何时 $\Gamma^*=\Gamma\setminus\{0\}$（即 $\Gamma$ 的非零元素集合）可被划分为互不相交的子集 $S_i$（$1 \leq i \leq t$），使得对每个 $i$（$1 \leq i \leq t$）有 $|S_i|=m_i$ 且 $\sum_{s\in S_i}s=0$。容易验证，$m_i\geq 2$（对每个 $i$，$1 \leq i \leq t$）以及 $|I(\Gamma)|\neq 1$ 是此类划分存在的必要条件，其中 $I(\Gamma)$ 为 $\Gamma$ 的对合元集合。已证明条件 $m_i\geq 2$ 是充分的当且仅当 $|I(\Gamma)|\in\{0,3\}$。对于其他群（即满足 $|I(\Gamma)|\neq 3$ 且 $|I(\Gamma)|>1$ 的群），迄今为止仅对满足 $\Gamma\cong(Z_2)^n$（对某正整数 $n$）的任意群 $\Gamma$ 的情形作了完全分析，且若干作者独立证明在此情形下 $m_i\geq 3$ 是充分的。此外，近期 Cichacz 与 Tuza 证明，若 $|\Gamma|$ 足够大且 $|I(\Gamma)|>1$，则 $m_i\geq 4$ 是充分的。本文将该结果推广至所有阶为 $2^n$ 的阿贝尔群。具体而言，我们证明对满足 $|I(\Gamma)|>1$ 且 $|\Gamma|=2^n$ 的 $\Gamma$（任意正整数 $n$）而言，条件 $m_i\geq 3$ 是充分的。我们还给出了该结果在图的幻标号和反幻标号类型问题中的一些应用。