随机整数集的完美划分

设 $X_1,\dots, X_n$ 为独立整数，在 $\{1,\dots, M\}$ 上均匀分布，$M=M(n)\to\infty$ 无论多慢。若将 $[n]$ 划分为 $\nu$ 个非空子集 $S_1,\dots, S_{\nu}$ 的划分 $S$ 满足所有 $\nu$ 个值 $\sum_{j\in S_{\a}}X_j$ 均相等，则称其为完美划分。完美划分存在要求 $\sum_j X_j$ 能被 $\nu$ 整除。对 $\nu=2$，Borgs 等人除其他结果外证明了：在 $\sum_j X_j$ 为偶数的条件下，若 $\kappa:=\lim \tfrac{n}{\log M}>\tfrac{1}{\log 2}$，则以高概率存在完美划分；若 $\kappa<\tfrac{1}{\log 2}$，则以高概率不存在完美划分。我们证明若 $\nu\ge 3$ 且 $\kappa<\tfrac{2}{\log \nu}$，则以高概率不存在完美划分。我们确定了期望完美划分数为指数级大的 $\kappa$ 范围。我们表明对于 $\kappa> \tfrac{2(\nu-1)}{\log[(1-2\nu^{-2})^{-1}]}$，完美划分总数以概率 $\gtrsim (1+\nu^2)^{-1}$ 为指数级大。