完美幂对分拆函数的排斥性质：一种启发式方法

2013年，Sun 猜想分拆函数 $p(n)$ 在 $n \geq 2$ 时绝不是完美幂。在此基础上，Merca、Ono 和 Tsai 近期观察到，对于任意固定整数 $d \geq 0$ 和 $k \geq 2$，使得 $p(n)$ 与一个完美 $k$ 次幂之差不超过 $d$ 的整数 $n$ 似乎只有有限个。用 $M_k(d)$ 表示其中最大的 $n$，他们猜想对于任意 $\epsilon > 0$，均有 $M_k(d) = o(d^\epsilon)$。在本文中，我们研究了一大类分拆函数的 $M_k(d)$ 类似量的渐近增长。我们建立了精确的下界，并提供了表明 $M_k(d)$ 实际上随 $d$ 呈多对数增长（即阶为 $\log^2(d)$）的启发式论证。更一般地，我们证明了如果 $f(n)$ 是一个渐近增长率与 $p(n)$ 相似的适当随机选取函数，那么使得 $f(n)$ 为完美幂的整数 $n$ 的集合以概率 1 是有限的。