通过完全映射将阿贝尔群划分为零和集及其在魔方阵集存在性中的应用

群 Γ 的完全映射是一个双射 φ: Γ → Γ，使得映射 x ↦ x + φ(x) 也是双射。在本文中，我们考虑完全映射 φ 和 Γ 的元素划分 S₁, S₂, …, Sₜ 的存在性，使得对每个 i (1 ≤ i ≤ t)，∑_{s∈Sᵢ} s = ∑_{s∈Sᵢ} φ(s) = 0。Γ-魔方阵集 MRS_Γ(a, b; c) 是 c 个 (a×b) 数组的集合，其元素为阶为 abc 的群 Γ 的元素，每个元素出现一次，每个矩形的所有行和等于常数 ω ∈ Γ，所有列和等于常数 δ ∈ Γ。虽然当 {a, b} ≠ {2k+1, 2^α} 时 MRS_Γ(a, b; c) 已有完全刻画，但 {a, b} = {2k+1, 2^α} 且 α > 1 的情形仍未解决。利用通过完全映射将 Γ 划分为零和集，我们给出了 Γ-魔方阵集 MRS_Γ(2k+1, 2^α; c) 存在的若干充分条件。