两个圈的群距离幻笛卡尔积

设 $G=(V,E)$ 为一个图，$\Gamma$ 为一个同为 $n$ 阶的阿贝尔群。$G$ 的一个 $\Gamma$-距离幻标号是一个双射 $\ell \colon V\rightarrow \Gamma$，使得存在 $\mu \in \Gamma$ 满足对所有的 $v\in V$ 有 $\sum_{x\in N(v)}\ell (x)=\mu$，其中 $N(v)$ 是 $v$ 的邻域。Froncek 证明了笛卡尔积 $C_m \square C_n$（$m, n\geq3$）是 $\mathbb{Z}_{mn}$-距离幻图当且仅当 $mn$ 为偶数。已知若 $mn$ 为偶数，则 $C_m \square C_n$ 对任意 $\alpha \equiv 0 \pmod {{\rm lcm}(m,n)}$ 和任意阶为 $mn/\alpha$ 的阿贝尔群 $\mathcal{A}$ 具有 $\mathbb{Z}_{\alpha}\times \mathcal{A}$-幻标号。然而，两个圈的群距离幻笛卡尔积的完整刻画仍未知。在本文中，我们通过证明一些必要条件，朝着该问题的完全解取得进展。我们进一步证明，对偶数 $n$，图 $C_{n}\square C_{n}$ 对任意阶为 $n^{2}$ 的阿贝尔群 $\Gamma$ 具有 $\Gamma$-距离幻标号。此外我们表明，若 $m\neq n$，则笛卡尔积 $C_{2^m} \square C_{2^{n}}$ 不存在 $(\mathbb{Z}_2)^{m+n}$-距离幻标号。我们还给出了 $\gcd(m,n)=1$ 时 $C_{m} \square C_{n}$ 为 $\Gamma$-距离幻的充要条件。