关于群距离幻图 $G[C_4]$ 的注记

图 $G(V,E)$（其中 $|V | = n$）的 \emph{群距离幻标号} 或 $\gr$-距离幻标号是从 $V$ 到阶为 $n$ 的 Abel 群 $\gr$ 的单射 $f$，使得每个顶点 $x \in V$ 的权重 $w(x)=\sum_{y\in N_G(x)}f(y)$ 等于 $\gr$ 中同一元素 $\mu$，称为幻常数。在本文中，我们将证明：如果 $G$ 是阶为 $n=2^{p}(2k+1)$ 的图（其中 $p$, $k$ 为某自然数），且对于任意 $v\in V(G)$ 满足 $\deg(v)\equiv c \imod {2^{p+1}}$（其中 $c$ 为某常数），则对于任意 Abel 群 $\gr$，图 $G[C_4]$ 存在 $\gr$-距离幻标号。此外我们证明，如果 $\gr$ 是阶为 $4n$ 的任意 Abel 群，且满足 $\gr \cong \zet_2 \times\zet_2 \times \gA$（其中 $\gA$ 为阶为 $n$ 的某 Abel 群），则对任意图 $G[C_4]$ 均存在 $\gr$-距离幻标号。