划分齐次群的分类及其在半群理论中的应用

设 $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,...)$ 为 $n$ 的一个\emph{划分}，即一个和为 $n$ 的非递增正整数序列。令 $\Omega:=\{1,...,n\}$。若 $\Omega$ 的一个有序划分 $P=(A_1,A_2,...)$ 满足 $|A_i|=\lambda_i$，则称其\emph{型}为 $\lambda$。遵循 Martin 和 Sagan 的定义，若对于 $\Omega$ 的任意两个型为 $\lambda$ 的有序划分 $P=(A_1,A_2,...)$ 和 $Q=(B_1,B_2,...)$，都存在 $g\in G$ 使得对所有 $i$ 有 $A_ig=B_i$，则称 $G$ 为\emph{$\lambda$-传递}。若给定上述两个有序划分 $P$ 和 $Q$，诱导集合 $P'=\{A_1,A_2,...\}$ 和 $Q'=\{B_1,B_2,...\}$，存在 $g\in G$ 使得 $P'g=Q'$，则称群 $G$ 为\emph{$\lambda$-齐次}。显然，$\lambda$-传递群是 $\lambda$-齐次的。本文的第一个目标是对 $\lambda$-齐次群进行分类。第二个目标是将此分类应用于半群理论中的一个问题。令 $\trans$ 和 $\sym$ 分别表示 $\Omega$ 上的变换幺半群和对称群。固定一个群 $H\leq \sym$。给定一个不可逆变换 $a\in \trans\setminus \sym$ 和一个群 $G\leq \sym$，若由 $\{a\}\cup H$ 和 $\{a\}\cup G$ 生成的半群包含相同的非单位元，即 $< a,G>\setminus G=< a,H>\setminus H$，则称 $(a,G)$ 为一个\emph{$H$-对}。利用 $\lambda$-齐次群的分类，我们对所有 $\sym$-对进行了分类。本主题涉及群论和半群理论；我们试图包含足够的阐述，使本文对这两个领域的研究者而言都是自包含的。论文最后提出了关于置换群和线性群的一些开放性问题。