群中齐次性的两种推广及其在正则半群中的应用
群论
2014-01-30 v2
摘要
设X是有限集，|X|=n，i≤j≤n。群G≤Sym(X)称为(i,j)-齐次的，如果对于每个I,J⊆X，满足|I|=i且|J|=j，存在g∈G使得Ig⊆J。（显然(i,i)-齐次性是通常意义上的i-齐次性。）群G≤Sym(X)称为具有k-通用横截性质，如果给定任意集合I⊆X（|I|=k）和X的任意划分为k个块的划分P，存在g∈G使得Ig是P的一个截面。（即，X的每个k-子集的轨道包含X的每个k-划分的一个截面。）在本文中，我们分类了具有k-通用横截性质的群（除了两类2-齐次群）和(k-1,k)-齐次群（对于2<k≤⌊(n+1)/2⌋）。作为分类的推论，我们证明了一个(k-1,k)-齐次群也是(k-2,k-1)-齐次的，除了两个例外；类似地，但无例外，具有k-通用横截性质的群也具有(k-1)-通用横截性质。所有先前结果的一个推论是，与X上的任意秩k变换一起生成正则半群的群的分类（对于1≤k≤⌊(n+1)/2⌋）。本文最后提出了对数论、群论和/或半群论、线性代数和矩阵理论专家的一些挑战。
引用
@article{arxiv.1204.2195,
title = {Two Generalizations of Homogeneity in Groups with Applications to Regular Semigroups},
author = {João Araújo and Peter J. Cameron},
journal= {arXiv preprint arXiv:1204.2195},
year = {2014}
}
备注
Includes changes suggested by the referee of the Transactions of the AMS. We gratefully thank the referee for an outstanding report that was very helpful. We also thank Peter M. Neumann for the enlightening conversations at the early stages of this investigation