存在性横截性质：齐一性的推广及其对半群的影响

设 $G$ 为度数为 $n$ 的置换群，$k$ 为满足 $k\le n$ 的正整数。我们说 $G$ 具有 $k$-存在性性质，简称 $k$-et，如果存在定义域 $\Omega$ 的一个 $k$-子集 $A$，使得对任意 $k$-划分 $\mathcal{P}$ of $\Omega$，存在 $g\in G$ 将 $A$ 映射到 $\mathcal{P}$ 的一个横截（截口）。该性质是对第一与第三作者所研究的 $k$-泛横截性质（简称 $k$-ut）的实质弱化，后者要求对定义域的所有 $k$-子集 $A$ 均成立此条件。我们在本文中的首要任务是研究 $k$-et 性质并判定哪些群满足它。例如，我们证明，对 $8\le k\le n/2$，具有 $k$-et 的群只有对称群与交错群；这是最佳可能的，因为 Mathieu 群 $M_{24}$ 具有 $7$-et。我们确定了所有具有 $k$-et 的群（$4\le k\le n/2$），除 $k=4,5$ 的一些未解决情形，并以置换群语言描述了 $k=2,3$ 时的性质。在先前工作中，结果被应用于半群，特别是应用于半群 $\langle G,t\rangle$ 何时为正则的问题，其中 $t$ 为秩 $k$（且 $k<n/2$）的映射；这被证明等价于 $k$-ut 性质。此处研究的问题是：何时存在定义域的 $k$-子集 $A$，使得对所有像为 $A$ 的映射 $t$，$\langle G, t\rangle$ 均为正则。这更为微妙；$k$-et 性质（以 $A$ 为见证集）是必要条件，而 $k$-et 与 $(k-1)$-ut 的结合是充分条件，但真相介于两者之间。在已知所考虑群具有 $k$-et 必要条件的前提下，我们解决了 $k\le n/2$ 时的正则性问题，仅除一个散在群外。