半单代数群的截面、商与表示环

设$G$是代数闭域$k$上的连通半单代数群。1965年Steinberg证明，若$G$是单连通的，则在$G$中存在正则共轭类闭包集合的闭不可约截面。我们证明，在任意$G$中，这样的截面存在当且仅当万有覆盖同源$\tau\colon \tG\to G$是双射的；这回答了卷首语中引用的Grothendieck问题。特别地，对于${\rm char}\,k=0$，Steinberg定理的逆命题成立。$G$中截面的存在性意味着，至少在${\rm char}\,k=0$时，$G$上的类函数代数$k[G]^G$由${\rm rk}\,G$个元素生成。我们描述了对于任意$G$，$k[G]^G$和$G$的表示环的最小生成集，并回答了Grothendieck关于构造$k[G]^G$生成集的两个问题。我们证明了对于任意$G$，商态射的有理（即局部）截面的存在性，以及$G$中有理截面的存在性（对于${\rm char}\,k=0$，这已被早期证明）；这回答了卷首语中引用的另一个Grothendieck问题。我们还证明，有理截面的存在性等价于有理$W$-等变映射$T\dashrightarrow G/T$的存在性，其中$T$是$G$的极大环面，$W$是Weyl群。