无限对称群的 Hilbert 定理 90 的类比

设 $K$ 为域，$G$ 为其自同构群。若 $G$ 是预紧的，则 $K$ 是 $G$ 的光滑（即具有开稳定子群）$K$-半线性表示范畴的生成子。若 $G$ 不是预紧的，则存在 $G$ 在 $K$ 上的非半单光滑半线性表示。本文研究无限集 $S$ 的所有置换构成的群 $G$ 的光滑半线性表示。设 $k$ 为域，$k(S)$ 为由集合 $S$ 在 $k$ 上自由生成的域（赋予自然的 $G$-作用）。主要结果之一描述了 $G$ 的光滑 $k(S)$-半线性表示范畴的 Gabriel 谱。特别地，还证明了： 对任意光滑 $G$-域 $K$，$G$ 的任意光滑有限生成 $K$-半线性表示都是 noetherian 的； 对域 $k(S)$ 中的任意 $G$-不变子域 $K$，对象 $k(S)$ 是 $G$ 的光滑 $K$-半线性表示范畴的内射余生成子； 若 $K\subset k(S)$ 是 0 次齐次有理函数构成的子域，则存在 $G$ 的一维 $K$-半线性表示，其整数张量幂构成 $G$ 的光滑 $K$-半线性表示范畴的内射余生成子系； 若 $K\subset k(S)$ 是由所有 $x,y\in S$ 的 $x-y$ 在 $k$ 上生成的子域，则对于每个给定的有限长度，存在唯一的一类不可分解光滑 $K$-半线性表示同构类。