平凡中心有限亚循环群的交換半群

我们研究具有平凡中心的有限亚循环群(right and left commutation semigroups)的右与左交换半群。这些群表示为 $$G(m,n,k) = \left\langle {a,b;{a^m} = 1,{b^n} = 1,{a^b} = {a^k}} \right\rangle \quad (m,n,k\in\mathbb{Z}^+)$$ 其中 $(m,k - 1) = 1$ 且 $n = in{d_m}(k),$ 即满足 ${k^n} = 1\,\pmod m$ 的最小正整数,以 ${a^b}( = {b^{ - 1}}ab)$ 表示 $a$ 被 $b$ 的共轭。群 $G$ 的\emph{右}与\emph{左交换半群}记为 ${\rm P}(G)$ 与 $\Lambda (G),$ 是由映射 $\rho (g):G \to G$ 与 $\lambda (g):G \to G$ 生成的半群,定义为 $(x)\rho (g) = [x,g]$ 与 $(x)\lambda (g) = [g,x],$ 其中 $g$ 与 $h$ 的换位子定义为 $[g,h] = {g^{ - 1}}{h^{ - 1}}gh.$ 本文建立在作者与 C. Levy 先前对二面体群交换半群研究的基础上。此处我们表明类似方法可应用于具有平凡中心的亚循环群 $G.$ 我们给出 ${\rm P}(G)$ 与 $\Lambda (G)$ 作为\emph{容器(containers)}之并的构造,该思想见于先前关于二面体群的论文。在 $\left\langle a \right\rangle$ 为 $p$ 或 ${p^2}$ 阶循环群、或其指数为素数的情形下,我们证明 ${\rm P}(G)$ 与 $\Lambda (G)$ 均为极大容器的不交并。在这些情形中,我们给出各交换半群元素的显式表示及其精确阶的公式。最后,我们推广 J. Countryman 的一个结果,证明对于 $m$ 为素数的 $G(m,n,k),$ 条件 $\left| {{\rm P}(G)} \right| = \left| {\Lambda (G)} \right|$ 等价于 ${\rm P}(G) = \Lambda (G).$