维数为 $p^4$ 的单扭曲群代数及其半中心

对于群 $G$ 上的单扭曲群代数，若 $G^{\shortmid}$ 是 $G$ 的 Hall 子群，则其半中心是单的。单扭曲群代数对应于中心型群。我们对所有阶为 $p^4$（其中 $p$ 为素数）的中心型群进行了分类，并以此证明，对于奇素数 $p$，存在唯一的阶为 $p^4$ 的群 $G$，使得在 $G$ 上存在具有交换半中心的单扭曲群代数。此外，若 $1< |G|< 64$，则在 $G$ 上的单扭曲群代数的半中心是非交换的，且该界是紧的。