关于零和 $\mathbb{Z}_{2j}^k$-幻图

设 $G = (V,E)$ 为有限图，设 $(\mathbb{A},+)$ 为以 0 为单位元的阿贝尔群。若存在从 $E$ 到 $\mathbb{A} - \{0\}$ 的函数 $\phi$，使得对某个 $c \in \mathbb{A}$，对于每个 $v \in V$ 都有 $\sum_{e \in E(v)} \phi(e) = c$，其中 $E(v)$ 是与 $v$ 关联的边集，则 $G$ 是 \textit{$\mathbb{A}$-幻图}。此外，若存在这样的 $\phi$ 使得 $c = 0$，则 $G$ 是 \textit{零和 $\mathbb{A}$-幻图}。我们考虑图的零和 $\mathbb{A}$-幻标号，特别关注 $\mathbb{A} = \mathbb{Z}_{2j}^k$ 的情形。对于 $j \geq 1$，设 $\zeta_{2j}(G)$ 为使得 $G$ 成为零和 $\mathbb{Z}_{2j}^c$-幻图的最小正整数 $c$（若 $c$ 存在）；否则为无穷大。我们在 $\zeta_{2j}(G)$ 有限时建立了 $\zeta_{2j}(G)$ 的上界，并证明对于所有 $r$-正则图 $G$（$r \geq 2$），$\zeta_{2j}(G)$ 是有限的。借助三次图因子的经典结果，我们证明对于三次图 $G$，$\zeta_4(G) \leq 2$，且等号成立当且仅当 $G$ 没有 1-因子。我们讨论了根据三次图所对应的有限阿贝尔群集合对其进行分类的问题，这些群使得三次图成为零和群幻图。