含多个三路径图之并图的 antimagic 标号

设$G$为具有$m$条边的图，$f$为从$E(G)$到$\{1,2, \dots, m\}$的双射。对任意顶点$v$，记$\phi_f(v)$为所有与$v$关联的边$e$上$f(e)$之和。若对任意两个不同顶点$u$和$v$均有$\phi_f(v) \neq \phi_f(u)$，则称$f$为$G$的一个{\it antimagic标号}。若存在这样的标号，则称$G$为{\it antimagic}。Hartsfield与Ringel于1991年猜想除$P_2$外所有连通图均为antimagic。记图$G$与$H$的不交并为$G \cup H$，$G$的$t$个拷贝的不交并为$tG$。对antimagic图$G$（连通或不连通），定义参数$\tau(G)$为使得对所有$t \leq \tau(G)$均有$G \cup tP_3$为antimagic的最大整数。Chang、Chen、Li与Pan证明了所有antimagic图$G$的$\tau(G)$有限[Graphs and Combinatorics 37 (2021), 1065--1182]。此外，Shang、Lin、Liaw[Util. Math. 97 (2015), 373--385]与Li[硕士论文，台湾中兴大学，2019]分别求出了星林与平衡双星的$\tau(G)$精确值：他们通过给出$G\cup tP_3$的显式antimagic标号并证明这些特殊图族上$\tau(G)$的紧上界来实现。本文推广了他们的结果，证明了所有图上的$\tau(G)$上界。对星林与平衡双星，该一般上界等价于文献\cite{star forest}与\cite{double star}中的界且为紧。此外，我们证明了该一般上界对我们所研究的其他图也是紧的，包括一族无限水母图、满足$3 \leq n \leq 9$的圈$C_n$以及双三角形$2C_3$。