具有悬挂边的反魔幻图与积反魔幻图

设 $G=(V,E)$ 是大小为 $m$ 的简单图，$L$ 为 $m$ 个不同实数的集合。$G$ 的一个 $L$-标号是一个双射 $\phi: E \rightarrow L$。如果导出的顶点和 $\phi_+: V \rightarrow \mathbb {R}$（定义为 $\phi_+(u)=\sum_{uv\in E}\phi(uv)$）是单射的，则称 $\phi$ 为反魔幻 $L$-标号。类似地，如果导出的顶点积 $\phi_{\circ}: V \rightarrow \mathbb {R}$（定义为 $\phi_{\circ}(u)=\prod_{uv\in E}\phi(uv)$）是单射的，则称 $\phi$ 为 $G$ 的积反魔幻 $L$-标号。如果对于 $L=\{1,2,\dots,m\}$，图 $G$ 有一个反魔幻（相应地，积反魔幻）$L$-标号，则称图 $G$ 是反魔幻的（相应地，积反魔幻的）。Hartsfield 和 Ringel 猜想每个不同于 $K_2$ 的连通简单图都是反魔幻的，但该猜想仍广泛悬而未决。我们证明了在其他结果之中，对于 $m$ 个正实数的任意等差数列 $L$，如果每个度数至少为 3 的顶点都是支撑顶点，那么每个大小为 $m$（$m \geq 3$）的连通图都允许一个反魔幻 $L$-标号。作为推论，我们推导出这些图是反魔幻的，增强了 Hartsfield 和 Ringel 猜想的真实性。此外，只要 $L$ 的最小元素至少为 1，这些图也允许积反魔幻 $L$-标号。该证明是构造性的。