图的上超边幻缺陷近期研究

若存在双射函数 $f:V\left(G\right) \cup E\left(G\right)\rightarrow \left\{1, 2, \ldots , \left\vert V\left( G\right) \right\vert +\left\vert E\left( G\right) \right\vert \right\}$ 使得对每个 $uv\in E\left( G\right)$ 有 $f\left(u\right) + f\left(v\right) + f\left(uv\right)$ 为常数，则称图 $G$ 为边幻图。此外，若 $f\left(V \left(G\right)\right) =\left\{1, 2, \ldots , \left\vert V\left( G\right) \right\vert \right\}$，则称 $G$ 为上超边幻图。进而，图 $G$ 的上超边幻缺陷 $\mu_{s}\left(G\right)$ 定义为使得 $G \cup nK_{1}$ 为上超边幻图的最小非负整数 $n$，若不存在这样的整数 $n$ 则定义为 $+ \infty$。本文引入参数 $l\left(n\right)$ 作为阶为 $n$ 的图 $G$ 的最小边数，使得所有阶为 $n$ 且边数至少为 $l\left(n\right)$ 的图均有 $\mu_{s} \left( G \right)=+\infty$，并给出 $l\left(G\right)$ 的下界和上界。Imran、Baig 和 Feňovčíková 证明了对于满足 $n\equiv 0\pmod{4}$ 的整数 $n$，有 $\mu_{s}\left(D_{n}\right) \leq 3n/2-1$，其中 $D_{n}$ 为阶 $n$ 的圈 $C_{n}$ 与阶 $2$ 的完全图 $K_{2}$ 的笛卡尔积。我们改进了该界，证明当 $n \geq 4$ 为偶数时 $\mu_{s}\left(D_{n}\right) \leq n+1$。Enomoto、Lladó、Nakamigawa 和 Ringel 提出了每个非平凡树均为上超边幻图的猜想。我们提出一种新方法来攻克该猜想。此方法亦可能有助于解决 Graham 和 Sloane 提出的另一个关于树的标号猜想。