星群与毛毛虫树的边幻和标号

设 $G=(V,E)$ 是一个具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的图。若函数 $f : V \cup E \rightarrow \{1, \ldots, n+m\}$ 是双射，且对于某个整数 $k$，对每条边 $uv \in E$ 都有 $f(u)+f(v)+f(uv) = k$，则称 $f$ 是 $G$ 的一个边幻和标号。此外，若 $f(V) = \{1, \ldots, n\}$，则称 $f$ 是一个超级边幻和标号。一个星群，即星图的集合，如果每种大小的星的数量均为偶数（至多一种大小除外），则称其为对称的。我们证明了每个具有奇数颗星的对称星群都允许一个超级边幻和标号。若毛毛虫树的两部分大小分别为 $r$ 和 $s$（其中 $r \leq s$），则称其为 $(r,s)$ 型。我们还证明了每个具有奇数棵同型毛毛虫树的集合都允许一个边幻和标号。