细分毛毛虫图的抗魔定向

设 $m\ge 1$ 为整数，$G$ 为具有 $m$ 条边的图。若存在 $G$ 的一个定向 $D$ 及双射 $\tau:A(D)\rightarrow \{1,2,\ldots,m\}$，使得 $D$ 中任两个顶点在 $\tau$ 下的顶点和不同，则称 $G$ 具有抗魔定向，其中 $D$ 中顶点 $v$ 在 $\tau$ 下的顶点和为进入 $v$ 的所有弧的标号之和减去离开 $v$ 的所有弧的标号之和。Hefetz、Mütze 与 Schwartz [J. Graph Theory, 64: 219-232, 2010] 猜想每个连通图都具有抗魔定向。该猜想已对若干图类得到证实，如正则图、最小度至少为 33 的图、无零度或二度顶点的二部图，以及包含毛毛虫图和完全 $k$ 叉树在内的树。我们证明每个细分毛毛虫图都具有抗魔定向，其中细分毛毛虫图是指毛毛虫树 $T$ 的一个细分，且 $T$ 上不在中心路径上的边被细分的次数相同。