关于$\mathbb{F}_2^n$上格雷厄姆置换共识问题

若一个序列 $s_1,s_2,\ldots, s_k$ 的元素来自群 $G$，且其部分乘积 $s_1, s_1 s_2, \ldots, s_1\cdots s_k$ 全部唯一，则称该序列为有效排序。组合群论中的一个长期问题询问：对于给定群 $G$，是否存在每个子集 $S \subseteq G\setminus \{\mathrm{id}\}$ 都 admits 有效排序；$\mathbb{F}_p$ 的情况即为著名的1971年格雷厄姆猜想的内涵。迄今为止大多数进展仅关注$either S$ 或 $G \setminus S$ 极小的情况。我们的主要结果是对 $G=\mathbb{F}_2^n$ 问题基本完整的解决：我们证明存在绝对常数 $C>0$，使得 $\mathbb{F}_2^n \setminus \{0\}$ 中大小至少为 $C$ 的每个子集 $S$ 都 admits 有效排序。我们的证明结合了加法与概率组合技术，包括Freiman-Ruzsa定理和吸收方法。在此过程中，我们还解答了一般性问题：存在常数 $c>0$，使得对于任意群 $G$（不一定是阿贝尔群），大小至少为 $|G|^{1-c}$ 的每个子集 $S \subseteq G\setminus \{\mathrm{id}\}$ 都 admits 有效排序。此前工作仅关注大小至少为 $(1-o(1))|G|$ 的集合。我们证明的一个关键要素是类似于算术正则化引理的结构结果，表明每个Cayley图都可高效分解为轻度准随机成分。