Riordan 群中有限阶元素及其特征向量

我们考虑特征为 $0$ 的域上 Riordan 群 $\cal R$ 中的有限阶元素。将 $\cal R$ 视为形式幂级数群的半直积，我们对所有 $n \geq 2$ 解决了 L. Shapiro 在 $n = 2$（“对合”）情形下提出的两个基础问题：给定有限复合阶的形式幂级数 $F(x)$ 和整数 $n\geq 2$，定理 1 精确给出了哪些 $g(x)$ 使得 $\big(g(x), F(x)\big)$ 是 $n$ 阶 Riordan 元素。定理 2 在 $\cal R$ 的共轭意义下对有限阶 Riordan 群元素进行分类。将 $\cal R$ 视为无穷下三角矩阵群，我们将定理 1 解释为特征向量的存在性，将定理 2 解释为相似变换下有限阶 Riordan 阵列的标准形。由此得到定理 3，即有限阶 Riordan 阵列所有特征向量的一个公式；并展示其如何导出有趣的组合恒等式。随后我们将工作与启发本文的 Cheon 和 Kim 的论文相联系，并解决了他们提出的开放问题。最后，这一组思想给出了 C. Marshall 定理的新证明，该定理在给定双可逆 $g(x)$ 时找到唯一的 $F(x)$，使得 $\big(g(x), F(x))$ 为对合。