形式幂级数的根与关于 Riordan 群元素的新定理

特征为零的域 $\mathbb F$ 上 Riordan 群 $\cal R$ 的元素是由形式幂级数对定义的下三角无穷矩阵。我们希望将域 $\mathbb F$ 上形式幂级数环中元素 $a(x)$ 的乘法根 $a(x)^\frac{1}{n}$ 的使用作为 Riordan 群理论中的一种工具推至前沿。利用根，我们给出非恒定形式幂级数的正规形，证明一个令人惊讶的简洁复合-消去定理，并应用它表明：对于 Riordan 元素的主要一类（即对非恒定 $g(x)$ 与适当的 $F(x)$），检验 $\big(g(x), \, F(x)\big)$ 在群 $\cal R$ 中具有阶 $n$ 的两个基本条件中实际只需检验一个。利用所有这些，我们的主要结果是推广 C. Marshall [Congressus Numerantium, 229 (2017), 343-351] 并证明：给定满足必要条件的非恒定 $g(x)$，存在唯一的 $F(x)$（由显式公式给出）使得 $\big(g(x), \, F(x)\big)$ 是 $\cal R$ 中的对合。最后，作为例子，我们将该定理应用于“充气”级数 $h(x) = g(x^q),\ q\ \text{odd}$，以找到唯一的 $K(x)$ 使得 $\big(h(x), K(x)\big)$ 是对合。