其元素为三元幂等元与幂等元之和或差环与有限域

我们显著加强了关于有限域上矩阵环结构的结果，并将其应用于描述所谓弱 $n$-扭洁净环的结构。具体而言，我们确立：对于任意恰有七个元素或严格多于九个元素的域 $F$，每一矩阵在 $F$ 上可表示为一个三元幂等矩阵与一个 $q$-幂等矩阵之和，当且仅当 $F$ 中每个元素可表示为一个三元幂等元与一个 $q$-幂等元之和，其中 $q>1$ 为奇数。此外，若 $Q$ 为奇素数之幂且 $F$ 为奇特征域、其基数严格大于 $9$，则对所有 $n\geq 1$，矩阵环 $\mathbb{M}_n(F)$ 是弱 $(Q-1)$-扭洁净的，当且仅当 $F$ 是基数为 $Q$ 的有限域。本研究环论主题的一项新颖贡献是对奇阶有限域 $\FQ$ 的分类，其中每个元素是一个三元幂等元与一个幂等元之和。就此，我们得到了 $\FQ$ 中连续三元组 $\gamma-1,\gamma,\gamma+1$ 为非平方元素的个数的表达式；特别地，只要 $\FQ$ 含有多于 9 个元素，$\FQ$ 就含有三个连续的非平方元素。