有限域中相邻非平方非原始数对

设 q 为奇素数幂，记 $\theta_q := \frac{\phi(q-1)}{q-1}$。若 $\theta_q < \tfrac{1}{3}$，或 $\theta_q = \tfrac{1}{3}$ 且 $q \notin \{7,13,19,25,37\}$，则有限域 $\F$ 中存在一对相邻元素，二者均为非平方且非原始数。这扩展了 Jarso 和 Trudgian 对素数域 $\Fp$ 的结果，其在更强条件 $\theta_p \le \tfrac{1}{4}$ 下即可得出相同结论。更一般地，设 $\ell$ 为 q-1 的最小奇素因子。若 $\theta_q \le \tfrac{1}{3}$，则 $\F$ 中存在一对相邻元素，为非平方且为 $\ell$ 次剩余数，唯一的例外为 $q \in \{7,13,19,25,37,43\}$。