有限域上具指定迹的 $r$-本原与 $k$-正规元素对

给定 $\mathbb{F}_{q^{n}}$，一个具有 $q^n$ 个元素的域，其中 $q$ 为素数幂，$n$ 为正整数。对于 $r_1,r_2,m_1,m_2 \in \mathbb{N}$，$k_1,k_2 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$，满足某些条件的有理函数 $F = \frac{F_1}{F_2} \in \mathbb{F}_{q}[x]$ 且 deg($F_i$) $\leq m_i$；$i=1,2,$ 以及 $a,b \in \mathbb{F}_{q}$，我们构造了关于 $(q,n)$ 的一个充分条件，保证存在 $r_1$-本原、$k_1$-正规元素 $\epsilon \in \mathbb{F}_{q^n}$，使得 $F(\epsilon)$ 为 $r_2$-本原、$k_2$-正规，且 $\operatorname{Tr}_{\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q}(\epsilon) = a$ 和 $\operatorname{Tr}_{\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q}(\epsilon^{-1}) = b$。对于 $m_1=10, \; m_2=11,\; r_1 = 3, \; r_2 = 2, \; k_1=2,\;k_2 = 1$，我们建立了针对不同 $n$ 的 $q$ 的界，以确定此类元素在 $\mathbb{F}_{q^{n}}$ 中的存在性。此外，在特征为 13 的域中，我们找出了除 10 个可能的 $(q,n)$ 值外的所有此类对 $(q,n)$。