有限域上具一个规定迹的本原正规对的存在性

给定 $m, n, q\in \mathbb{N}$ 使得 $q$ 为素数幂且 $m\geq 3$，$a\in \mathbb{F}_q$，我们建立了 $\mathbb{F}_{q^m}$ 中本原对 $(\alpha, f(\alpha))$ 存在的一个充分条件，使得 $\alpha$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上正规且 $\text{Tr}_{\mathbb{F}_{q^m}/\mathbb{F}_q}(\alpha^{-1})=a$，其中 $f(x)\in \mathbb{F}_{q^m}(x)$ 是次数和 $n$ 的有理函数。进一步，当 $n=2$ 且 $q=5^k$（对某 $k\in \mathbb{N}$）时，除至多 $20$ 种选择外，这样的对对所有 $(q, m)$ 均必然存在。