关于有限域的本原完全正规基的存在性

设 $\mathbb{F}_q$ 为特征 $p$ 且有 $q$ 个元素的有限域，$\mathbb{F}_{q^n}$ 为其 $n$ 次扩张。我们证明，存在一个 $\mathbb{F}_{q^n}$ 的本原元，它生成 $\mathbb{F}_{q^n}$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上的完全正规基，前提是 $n=p^{\ell}m$ 且 $(m,p)=1$ 以及 $q>m$。