完全正规元素的平移与摩根-麦克林猜想

记 $\mathbb F_q$ 为阶为 $q$ 的有限域，记 $\mathbb F_{q^n}$ 为其次数为 $n$ 的扩张域。若某 $a\in\mathbb F_{q^n}$ 能生成乘法群 $\mathbb F_{q^n}^*$，则称其为原始元；若其 $\mathbb F_q$-共轭形成 $\mathbb F_q$-向量空间 $\mathbb F_{q^n}$ 的 $\mathbb F_q$-基，则称其为 $q^n/q$-正规元。进一步地，若某 $a\in\mathbb F_{q^n}$ 对所有 $d\mid n$ 均为 $q^n/q^d$-正规，则称其为 $q^n/q$-完全正规元。本文我们构造了完全正规元素集合的新方法，并在一定条件下建立了同时为原始元且 $q^n/q$-完全正规元素的存在性，涵盖了 Morgan 和 Mullen 该猜想30年来未解的若干情形。