有限域中 $r$-本原与 $k$-正规元素对

设 $\mathbb{F}_{q^n}$ 为含 $q^n$ 个元素的有限域，$r$ 为 $q^n-1$ 的正因子。若元素 $\alpha \in \mathbb{F}_{q^n}^*$ 的乘法阶为 $(q^n-1)/r$，则称其为 $r$-本原的。此外，若多项式 $g_{\alpha}(x) = \alpha x^{n-1}+ \alpha^q x^{n-2} + \ldots + \alpha^{q^{n-2}}x + \alpha^{q^{n-1}}$ 与 $x^n-1$ 在 $\mathbb{F}_{q^n}[x]$ 中的最大公因式的次数为 $k$，则称 $\alpha \in \mathbb{F}_{q^n}$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上是 $k$-正规的。这些概念分别推广了本原元素与正规元素的思想。本文中，我们考虑非负整数 $m_1,m_2,k_1,k_2$、正整数 $r_1,r_2$ 以及有理函数 $F(x)=F_1(x)/F_2(x) \in \mathbb{F}_{q^n}(x)$，其中对 $i\in\{ 1,2\}$ 有 $\deg(F_i) \leq m_i$ 且满足特定条件，并给出存在 $\mathbb{F}_q$ 上的 $r_1$-本原 $k_1$-正规元素 $\alpha \in \mathbb{F}_{q^n}$ 使得 $F(\alpha)$ 为 $\mathbb{F}_q$ 上的 $r_2$-本原 $k_2$-正规元素的充分条件。最后作为例子，我们研究了 $r_1=2$、$r_2=3$、$k_1=2$、$k_2=1$、$m_1=2$、$m_2=1$ 且 $n \ge 7$ 的情形。