有限域上具有一个指定迹的本原元素对

在本文中，我们建立了一个充分条件，使得存在本原元素 $\alpha \in {\mathbb{F}_{q^n}}$ 满足元素 $\alpha+\alpha^{-1}$ 也是 ${\mathbb{F}_{q^n}}$ 的本原元素，且对于任意指定的 $a \in \mathbb{F}_q$ 有 $Tr_{\mathbb{F}_{q^n}|\mathbb{F}_{q}}(\alpha)=a$，其中 $q=p^k$，$p$ 为素数，$k$ 为正整数。我们证明，除了有限多对 $q$ 和 $n$ 之外，每个有限域 $\mathbb{F}_{q^n}~ (n \geq5)$ 都包含这样的本原元素。事实上，通过计算，我们得出结论：对于 $n\geq5$，不存在实际的例外对 $(q,n)$。