偶特征有限域上有理形式本原正规元的存在性

设 $q$ 为偶素数幂，$m\geq2$ 为整数。以 $\mathbb{F}_q$ 表示 $q$ 阶有限域，以 $\mathbb{F}_{q^m}$ 表示其 $m$ 次扩张。本文研究本原正规对 $(\alpha, \, f(\alpha))$ 的存在性，其中 $f(x)= \dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e} \in \mathbb{F}_{q^m}(x)$，矩阵 $F= \begin{pmatrix}a \,&b\,& c\\ 0\,&d \,&e \end{pmatrix}$ $\in M_{2 \times 3}(\Fm)$ 的秩为 2。即，我们建立充分条件以表明除当 $q=2$ 且 $m$ 为奇数时的 $\begin{pmatrix} 1 \,&1 \,& 0\\ 0\,&1 \,&0 \end{pmatrix}$ 外，几乎所有偶特征域都拥有此类元素，并随后给出可能的真实例外对 $(q,m)$ 的显式列表。