有限域本原元处有理函数的本原值

给定素数幂 $q$ 和整数 $n\geq2$，我们建立了存在本原对 $(\alpha,f(\alpha))$ 的一个充分条件，其中 $\alpha \in \mathbb{F}_q$，$f(x) \in \mathbb{F}_q(x)$ 是次数为 $n$ 的有理函数。（这里 $f=f_1/f_2$，其中 $f_1, f_2$ 分别是次数为 $n_1,n_2$ 的互素多项式，且 $n_1+n_2=n$。）对于任意 $n$，当 $q$ 足够大时保证存在这样的对。事实上，当 $n=2$ 时，这样的对肯定{\em 不}存在的 $q$ 值仅有 28 个，且可能（但不太可能）仅对至多其他 3911 个 $q$ 值不存在。