具有预定次迹数有限域上原始正规对的存在性

给定正整数 $q,n,m$ 以及 $a\in\mathbb{F}_{q}$，其中 $q$ 为奇素幂，$n\geq 5$，我们考察在 $\mathbb{F}_{q^{n}}$ 相对于 $\mathbb{F}_{q}$ 的原始正规对 $(\epsilon,f(\epsilon))$ 的存在性，其中 $\mathrm{STr}_{q^n/q}(\epsilon)=a$，且 $f(x)=\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}\in\mathbb{F}_{q^n}(x)$ 为有理函数，满足 deg$(f_{1})$+deg$(f_{2})=m$ 并且 $\mathrm{STr}_{q^n/q}(\epsilon) = \sum_{0\leq i<j\leq n-1}^{}\epsilon^{q^i+q^j}$。最后，我们得出结论：当 $m=2$，$n\geq 6$ 且 $q=7^k$ 时，$k\in\mathbb{N}$，此类配对对于所有 $(q,n)$ 除最多有 $11$ 种选择外，必然存在。