有限域上迹值预设的有理函数原对

设 $q$ 为某个素数 $p$ 的正整数次方，$\mathbb{F}_{q^m}$ 为具有 $q^m$ 个元素的有限域，其中 $m \in \mathbb{N}$。本文我们给出存在非零元素 $\epsilon \in \mathbb{F}_{q^m}$，使得 $(\epsilon, g(\epsilon))$ 在 $\mathbb{F}_{q^m}$ 中为具有两个预设迹的原对 $\Tr_{{\mathbb{F}_{q^m}}/{\mathbb{F}_q}}(\epsilon)=a$ 和 $\Tr_{{\mathbb{F}_{q^m}}/{\mathbb{F}_q}}(\epsilon^{-1})=b$，其中 $f(x), g(x) \in \mathbb{F}_{q^m}(x)$ 为具有某些限制条件的有理函数，$a, b \in \mathbb{F}_q$。我们还表明，在除有限多个域 $\mathbb{F}_{q^m}$ 之外的所有域 $\mathbb{F}_{q^m}$ 相对于 $\mathbb{F}_q$ 都存在满足我们期望属性的元素 $\epsilon$。我们也计算了当 $m \geq 9$ 时，两个有理函数次数之和均取为 3 时可能的异常对。