关于具有给定迹的 $N$-自由元个数

本文利用高斯和周期，推导了有限域 $\mathbb{F}_q$ 上具有给定迹（特别是零迹）的 $N$-自由元个数的公式。作为推论，我们得出了梅森素数域的四次扩张中具有绝对零迹的本原元个数的简单显式公式。我们还给出了当 $Q = (q^m-1)/(q-1)$ 为素数时的简单公式。更一般地，对于素因子整除 $Q$ 且满足所谓半本原条件的正整数 $N$，我们给出了具有任意迹的 $N$-自由元个数的显式公式。此外，我们证明了如果 $q-1$ 的所有素因子都整除 $m$，那么 $\mathbb{F}_{q^m}$ 中具有给定非零迹的本原元个数是均匀分布的。最后，我们探讨了 $\mathbb{F}_{q^m}$ 中乘法阶为 $N$ 且迹为 $c \in \mathbb{F}_q$ 的元素的相关个数 $P_{q, m, N}(c)$。设 $N \mid q^m-1$ 使得 $L_Q \mid N$，其中 $L_Q$ 是 $q^m-1$ 中与 $Q$ 具有相同根的最大因子。我们证明了当且仅当 $m \neq 2$ 且 $(q,m) \neq (4,3)$ 时，$\mathbb{F}_{q^m}^*$ 中存在具有迹 $0$ 的（大）阶 $N$ 元素。此外，我们推导了 $\mathbb{F}_{p^4}$ 中具有相应大阶 $L_Q = 2(p+1)(p^2+1)$ 且绝对迹为零的元素个数的显式公式，其中 $p$ 是梅森素数。