有限域上具指定迹的本原对的存在性

设 $F=\mathbb{F}_{q^m}$，$m>6$，$n$ 为正整数，且 $f=p/q$，其中 $p$、$q$ 为 $F[x]$ 中互素不可约多项式且 deg$(p)$ $+$ deg$(q)= n$。已获得关于 $F$ 中存在本原对 $(\alpha, f(\alpha))$ 使得对任意给定的 $a, b \in E=\mathbb{F}_q$ 有 Tr$F/E (\alpha) = a$ 与 Tr$F/E (\alpha^{-1}) = b$ 的一个充分条件。进一步，对每个正整数 $n$，当 $(q,m)$ 足够大时这样的对必然存在。情形 $n = 2$ 被单独处理，并证明除至多 $64$ 种 $(q,m)$ 选择外，对所有 $(q,m)$ 均存在这样的对。