有限域中具有指定迹与范数的本原正规对

给定 ${\mathbb{F}_{p^t}}$——一个含 $p^t$ 个元素的域，其中 $p$ 为素数幂，$t$ 为正整数。设 $f(x)$ 为 $\mathbb{F}_{p^t}$ 上满足某些限制条件的 $m$ 次多项式。本文构造了关于 $(p,t)$ 的一个充分条件，保证存在本原正规对 $(\epsilon,f(\epsilon))$，使得 $Tr_{\mathbb{F}_{p^t}/\mathbb{F}_p}(\epsilon)=a$、$Tr_{\mathbb{F}_{p^t}/\mathbb{F}_p}(f(\epsilon))=b$ 且 $N_{\mathbb{F}_{p^t}/\mathbb{F}_p}(\epsilon)=c$、$N_{\mathbb{F}_{p^t}/\mathbb{F}_p}(f(\epsilon))=d$，其中 $c,d\in\mathbb{F}_{p}$ 为本原元，$a,b\in\mathbb{F}_{p}^*$。此外，我们证明对于 $p=11^k;$$k\geq1$、$m=8$ 且 $t\geq 15$，仅存在 $4$ 个此类对可能不存在的例外情况。