有限域上具有两个指定迹的本原对的存在性

给定 $F= \mathbb{F}_{p^{t}}$，一个含 $p^t$ 个元素的域，其中 $p$ 为素数幂，$t\geq 7$，$n$ 为正整数，$f=f_1/f_2$ 为一有理函数，其中 $f_1, f_2$ 为在 $F[x]$ 中互素、不可约且 $deg(f_1) + deg(f_2) = n$ 的多项式。我们构造了关于 $(p,t)$ 的一个充分条件，保证在 $F$ 中存在本原对 $(\epsilon, f(\epsilon))$，使得对任意给定的 $a,b \in \mathbb{F}_{p}$ 有 $Tr_{\mathbb{F}_{p^t}/\mathbb{F}_p}(\epsilon) = a$ 且 $Tr_{\mathbb{F}_{p^t}/\mathbb{F}_p}(f(\epsilon)) = b$。进一步，我们证明对任意正整数 $n$，当 $t$ 充分大时这样的对必然存在。当 $n = 2$ 的情形被单独处理，我们验证了除可能的 71 个 $p$ 值外，对所有 $(p,t)$ 这样的对均存在。同时也给出了 $n=3$ 时的一个结果。