关于有限域中包含特殊元素的小子集的构造

本文通过应用不完整特征和的某些界，构造了一系列包含有限域中非 d 次幂元素的小子集。具体地，设 $h=\lfloor q^{\delta}\rfloor>1$ 且 $d\mid q^h-1$。设 $r$ 为 $q-1$ 的素数因子，使得 $q-1$ 的最大素数幂部分具有 $r^s$ 的形式。则存在常数 $0<\epsilon<1$，使得对于至少占 ${q^{-\epsilon h}}$ 比例的 $\alpha\in \mathbb{F}_{q^{h}} \backslash\mathbb{F}_{q}$，基数为 $1+\frac {q-1} {M(h)}$ 的集合 $S=\{ \alpha-x^t, x\in\mathbb{F}_{q}\}$ 在 $\mathbb{F}_{q^{\lfloor q^\delta\rfloor}}$ 中包含一个非 d 次幂元素，其中 $t$ 为满足 $t<\sqrt{q}/h$ 的 $r$ 的最大幂，且 $M(h)$ 定义为 $$M(h)=\max_{r \mid (q-1)} r^{\min\{v_r(q-1), \lfloor\log_r{q}/2-\log_r h\rfloor\}}.$$ 这里 $r$ 遍历素数因子，$v_r(x)$ 为 $x$ 的 $r$-adic 阶。对于奇数 $q$，选取 $\delta=\frac 12-d, d=o(1)>0$ 表明存在一个基数为 $q^{1-d}=O(\log^{2+\epsilon'}(q^h))$ 的显式子集，在域 $\mathbb{F}_{q^h}$ 中包含一个非二次元素。另一方面，选取 $h=2$ 表明对于任意奇素数幂 $q$，存在一个基数为 $1+\frac {q-1}{M(2)}$ 的显式子集，在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 中包含一个非二次元素。由于 $\lfloor \log_2{(q-1)}\rfloor\leq M(2) < \sqrt{q}$，这改进了 Coulter 和 Kosick \cite{CK} 的 $q-1$ 构造。此外，我们获得了包含本原元的小集合的类似构造。只要 $\phi(q^h-1)$ 非常小，该构造就能很好地发挥作用，其中 $\phi$ 为 Euler totient 函数。