素数次幂剩余与 $\mathbb{F}_{q}$ 上向量空间的线性覆盖

设 $q$ 为奇素数，$B = \{b_{j}\}_{j=1}^{l}$ 为一个不含完全 $q^{th}$ 次幂的非零整数有限集。我们证明：$B$ 在除 $q$ 外且不被 $\prod_{b\in B} b$ 整除的每个素数 $p$ 处均有 $q^{th}$ 次幂剩余，当且仅当 $B$ 对应于 $\mathbb{F}_{q}^{k}$ 的一个线性超平面覆盖。此处 $k$ 为 $B$ 中元素的 $q$-自由部分的互异素因子个数。由此可得：$(i)$ 基数小于 $q+1$ 的集合 $B \subset\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 不可能在几乎每个素数处均有 $q^{th}$ 次幂剩余，除非其含有一个完全 $q^{th}$ 次幂；$(ii)$ 对每个集合 $B = \{b_{j}\}_{j=1}^{l} \subset\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 以及每个 $\big(c_{j}\big)_{j=1}^{l} \in\Big(\mathbb{F}_{q}\setminus\{0\}\Big)^{l}$，集合 $B$ 在除 $q$ 外且不被 $\prod_{j=1}^{l}$ 整除的每个素数 $p$ 处均有 $q^{th}$ 次幂剩余，当且仅当集合 $\{b_{j}^{c_{j}}\}_{j=1}^{l}$ 亦如此。