关于素因子个数较少的整数的和积问题的进一步研究

我们证明，若 $A\subset \mathbb{Z}$ 是有限整数集，且其中每个整数均被 $O(1)$ 个素数整除，则 $\max(\lvert A+A\rvert,\lvert AA\rvert) \geq \lvert A\rvert^{12/7-o(1)}$，且对任意 $m\geq 2$，$\max(\lvert mA\rvert, \lvert A^{(m)}\rvert) \geq \lvert A\rvert^{\frac{2}{3}m+\frac{1}{3}-o(1)}$。最后，我们证明若 $A\subset \mathbb{Q}$ 是有限有理数集，且其中每个 $x\in A$ 的分子与分母均被 $O(1)$ 个素数整除，则 $\lvert A+AA\rvert \geq \lvert A\rvert^{2-o(1)}$。