关于模素数映射 $x \mapsto x^x$ 的不动点，II

我们研究映射 $x \mapsto x^{x} \mod{p}$ 的数论性质，其中 $x \in \{1,2,\ldots,p-1\}$，并改进了 Kurlberg、Luca 和 Shparlinski 关于使得该映射仅有平凡不动点 $x=1$ 的素数 $p < N$ 数量的近期上界。一个可能具有独立意义的关键技术结果是，存在子集 $\mathscr{N}_{q} \subset \{2,3,\ldots,q-1\}$，使得几乎所有由不同整数 $n_{1}, n_{2},\ldots,n_{k} \in \mathscr{N}_q$ 构成的 $k$ 元组是乘法独立的（若 $k$ 不太大），且当 $q \to \infty$ 时 $|\mathscr{N}_q| = q \cdot (1+o(1))$。对于 $q$ 为大素数的情形，这被用于证明某个大型且稀疏的 $\mathbb{F}_q$ 线性型系统 $\{ \mathscr{L}_{n} \}_{n=2}^{q-1}$ 的解数“表现随机”，即 $|\{ \mathbf{v} \in \mathbb{F}_{q}^{d} : \mathscr{L}_{n}(\mathbf{v}) =1, n = 2,3, \ldots, q-1 \}| \sim q^{d}(1-1/q)^{q} \sim q^{d}/e$。（此处 $d=\pi(q-1)$，且 $\mathscr{L}_{n}$ 的系数由 $n$ 的素数幂分解中的指数给出。）